درسنامه آموزشی فصل سوم ریاضی (3) کلاس دوازدهم علوم تجربی

حد در بی‌نهایت

در درس قبل که حدهای نامتناهی را بررسی کردیم، دیدیم که وقتی $x$ به سمت عددی مثل $a$ نزدیک می‌شد، مقادیر $y$ به $ + \infty $ یا $ - \infty $ میل می‌کرد. در اینجا $x$ را به $ + \infty $ یا $ - \infty $ میل می‌دهیم و حد تابع را در صورت وجود به‌دست می‌آوریم.

مثال: تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ را در بازهٔ $(0, + \infty )$ در نظر می‌گیریم. رفتار این تابع را به ازای برخی مقادیر مثبت $x$ در جدول زیر مشاهده می‌کنید.

$ \to  + \infty $	....	10000	1000	100	10	2	1	$x$
$ \to ?$	....	0/0001	0/001	0/01	0/1	0/5	1	$f(x) = \frac{1}{x}$

از جدول دیده می‌شود که با افزایش مقدار $x$، مقدار $\frac{1}{x}$ به صفر نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود. به عنوان مثال، برای آنکه فاصلهٔ $\frac{1}{x}$ تا صفر، کمتر از 0/00001 باشد، لازم است $x$ بزرگ‌تر از 100000 انتخاب شود. به نظر شما، آیا به هر میزان که بخواهیم، می‌توانیم مقدار $\frac{1}{x}$ را به صفر نزدیک کنیم؟ آیا مقداری از $x$ وجود دارد که به ازای آن، فاصلهٔ $\frac{1}{x}$ تا صفر کمتر از 0/000001 باشد؟

با این شرایط می‌گوییم حد تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ در $ + \infty $ برابر صفر است و می‌نویسیم $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{x} = 0$. به‌طور کلی می‌توان گفت:

رابطهٔ $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = L$ نیز به روش مشابه تعریف می‌شود:

مثال: با توجه به جدول زیر و با ملاحظه نمودار تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ که در بازهٔ $( - \infty ,0)$ رسم شده است، دیده می‌شود که $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{x} = 0$.

100-	1000-	100000-	1000000-	....	$ - \infty  \leftarrow $	$x$
0/01-	....	....	0/000001	....	$? \leftarrow $	$f(x) = \frac{1}{x}$

در مورد حدهای نامتناهی، دو قضیهٔ زیر مفیدند.

تذکر: قضیهٔ 2 برای وقتی که $x \to  - \infty $ نیز برقرار است.

مثال: مقدار $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{7{x^2} - 4x + 1}}{{3{x^2} + 5x - 6}}$ را به‌دست آورید.

حل: برای محاسبهٔ این حد، ابتدا باید صورت و مخرج را بر بزرگ‌ترین توانی از $x$ که در مخرج وجود دارد، یعنی ${x^2}$ تقسیم کنیم (چون $x \to  + \infty $، پس می‌توان نتیجه گرفت که ${x^2} \ne 0$).

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{7{x^2} - 4x + 1}}{{3{x^2} + 5x - 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{{7{x^2} - 4x + 1}}{{{x^2}}}}}{{\frac{{3{x^2} + 5x - 6}}{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{7 - \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{3 + \frac{5}{x} - \frac{6}{{{x^2}}}}}$

$ = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (7 - \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}})}}{{(3 + \frac{5}{x} - \frac{6}{{{x^2}}})}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } 7 - \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{4}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } 3 + \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{5}{x} - \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{6}{{{x^2}}}}} = \frac{{7 - 0 + 0}}{{3 + 0 - 0}} = \frac{7}{3}$

حد نامتناهی در بی‌نهایت

برخی توابع مانند $f$ هستند که وقتی $x \to  + \infty $ یا $x \to  - \infty $، مقدار آنها یعنی $f(x)$ می‌تواند به هر اندازهٔ دلخواه بزرگ (یا کوچک منفی) شود. در این بخش رفتار این گونه تابع‌ها را در $ + \infty $ یا $ - \infty $ مورد مطالعه قرار می‌دهیم.

مثال: تابع $f(x) = {x^3}$ را در نظر بگیرید.

$ \to  + \infty $	100	100	10	10-	100-	1000-	$ - \infty  \leftarrow $	$x$
$ \to  + \infty $	1000000000	1000000	1000	1000-	1000000-	1000000000-	$ - \infty  \leftarrow $	$y = {x^2}$

جدول بالا و همچنین نمودار تابع نشان می‌دهند که با افزایش مقدار $x$، مقدار ${x^3}$ هم افزایش می‌یابد به‌طوری که با بزرگ کردن $x$ به قدر کافی، می‌توان مقدار ${x^3}$ را از هر عدد مثبت دلخواهی بزرگ‌تر کرد. در این حالت می‌نویسیم $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^3} =  + \infty $. در حالت کلی داریم:

به روش مشابه از جدول و نمودار بالا دیده می‌شود که با منفی و کوچک گرفتن $x$ به قدر کافی، می‌توان مقدار ${x^3}$ را از هر عدد منفی دلخواهی کوچک‌تر کرد. در این حالت می‌نویسیم $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3} =  - \infty $. در حالت کلی می‌توان گفت:

تذکر 1: رابطه‌های $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  - \infty $ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) =  + \infty $ نیز به روش مشابه تعریف می‌شوند.

تذکر 2: رابطه‌هایی مانند $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  + \infty $ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  - \infty $ را حد نامتناهی در بی‌نهایت می‌نامیم. همچنان که قبلاً بیان شد، این دو مورد، صورت‌هایی از عدم وجود حد تابع $f$ در $ + \infty $ هستند؛ چراکه $ + \infty $ و $ - \infty $ عدد حقیقی نیستند که بیانگر حد تابع $f$ در $ + \infty $ باشند.

از قضیهٔ زیر برای محاسبهٔ حد تابع یک جمله‌ای $f(x) = a{x^n}$ در $ + \infty $ و $ - \infty $ استفاده می‌کنیم.

مثال: حدود زیر را محاسبه کنید:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (2x - 3 + 5{x^2})$ (الف

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ( - 2{x^3} + 4{x^2} - 5x - 9)$ (ب

حل:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (2x - 3 + 5{x^2}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^2}(\frac{2}{x} - \frac{3}{{{x^2}}} + 5)$ (الف

بنابر قضیه‌ای از درس قبل، حد $\frac{2}{x}$ و $\frac{3}{{{x^2}}}$ در $ + \infty $ برابر صفرند؛ بنابراین:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^2}(\frac{2}{x} - \frac{3}{{{x^2}}} + 5) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^2}(0 - 0 + 5) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } 5{x^2} =  + \infty $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ( - 2{x^3} + 4{x^2} - 5x - 9) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3}( - 2 + \frac{4}{x} - \frac{5}{{{x^2}}} - \frac{9}{{{x^3}}})$ (ب

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3}( - 2 + 0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ( - 2{x^3}) =  + \infty $

در هر دو قسمت مثال قبل دیده می‌شود که حد یک تابع چندجمله‌ای مثل $f$ در $ + \infty $ یا $ - \infty $ برابر است با حد جملهٔ با بزرگ‌ترین توان $f$ در $ + \infty $ یا $ - \infty $. این مطلب در حالت کلی درست است و می‌توان به روش مثال بالا آن را اثبات کرد یعنی:

از این مطلب می‌توان برای محاسبه حد توابع گویا، زمانی که $x \to  + \infty $ یا $x \to  - \infty $ نیز استفاده کرد. به مثال زیر دقت کنید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 12{x^5} + 7{x^3} - 2x - 9}}{{3{x^2} - 8x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 12{x^5}}}{{3{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ( - 4{x^3}) =  + \infty $ :مثال